BW Cutting Tools www.tool-tool.com: January 2008

Thursday, January 31, 2008

Normalvektor www.tool-tool.com

Bewise Inc. www.tool-tool.com Reference source from the internet.

En normalvektor er en vektor der er normal i forhold til en anden vektor. I planen og det tredimensionale rum vil dette sige vinkelret på den anden vektor, men begrebet kan let generaliseres til flere dimensioner end tre.

I tre dimensioner kan man for to vektorer $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ og $\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)$ beregne en fælles normalvektor ved hjælp af deres krydsprodukt:

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_1 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_1 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$

Denne normalvektoren har en længde der er lig arealet af det parallelogram som de to vektorer udspænder. Se en nærmere forklaring på siden om krydsprodukt.

[redigér] Planens ligning

En normalvektor kan benyttes i forbindelse med bestemmelse af en ligning for en plan i tre dimensioner. En plan kan beskrives som en mængde af uendeligt mange punkter bredt ud på en uendelig stor flade, og man kan således beskrive planen som alle de punkter $P$ hvor skalarproduktet mellem normalvektoren og vektor fra et andet punkt i planen $P 0$ til dette punkt $P$ til er nul. Dette kommer af at at normalvektoren står vinkelret på planen, samt at skalarproduktet mellem to vinkelrette vektorer (en vinkel på 90 grader) giver nul, da $cos(90) = 0$ . Dette er altså en helt generel beskrivelse af samtlige punkter i en uendeligt stor flade, da der ikke er lagt nogle yderligere bånd på denne definition. Matematisk kan dette udtrykkes ved:

$\{ P \mid \vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0 P} = 0\}$

Hvis vi definerer $P = (x, y, z)$ og $P 0 = (x 0, y 0, z 0)$ , og og normalvektoren som $\vec{n} = (a,b,c)$ , bliver $\overrightarrow{P_0P} = (x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ , og ud fra definitionen af skalarproduktet samt førnævnte definition på planen bliver planens ligning:

$\vec{n} \cdot \vec{P_0P} = a \cdot (x - x_0) + b \cdot (y - y_0) + c \cdot (z - z_0) = ax + by + cz +d = 0$ ,

hvor $d = - a \cdot x_0 - b \cdot y_0 - c \cdot z_0$ . Man gør altså brug af normalvektorens koordinater når man beskriver planens med en ligning.

歡迎來到Bewise Inc.的世界，首先恭喜您來到這接受新的資訊讓產業更有競爭力，我們是提供專業刀具製造商，應對客戶高品質的刀具需求，我們可以協助客戶滿足您對產業的不同要求，我們有能力達到非常卓越的客戶需求品質，這是現有相關技術無法比擬的，我們成功的滿足了各行各業的要求，包括：精密HSS DIN切削刀具、協助客戶設計刀具流程、DIN or JIS 鎢鋼切削刀具設計、NAS986 NAS965 NAS897 NAS937orNAS907 航太切削刀具,NAS航太刀具設計、超高硬度的切削刀具、醫療配件刀具設計、汽車業刀具設計、電子產業鑽石刀具、木工產業鑽石刀具等等。我們的產品涵蓋了從民生刀具到工業級的刀具設計；從微細刀具到大型刀具；從小型生產到大型量產；全自動整合；我們的技術可提供您連續生產的效能，我們整體的服務及卓越的技術，恭迎您親自體驗！！

BW Bewise Inc. Willy Chen willy@tool-tool.com bw@tool-tool.com www.tool-tool.com skype:willy_chen_bw mobile:0937-618-190 Head &Administration Office No.13,Shiang Shang 2nd St., West Chiu Taichung,Taiwan 40356 http://www.tool-tool..com / FAX:+886 4 2471 4839 N.Branch 5F,No.460,Fu Shin North Rd.,Taipei,Taiwan S.Branch No.24,Sec.1,Chia Pu East Rd.,Taipao City,Chiayi Hsien,Taiwan

Welcome to BW tool world! We are an experienced tool maker specialized in cutting tools. We focus on what you need and endeavor to research the best cutter to satisfy users’ demand. Our customers involve wide range of industries, like mold & die, aerospace, electronic, machinery, etc. We are professional expert in cutting field. We would like to solve every problem from you. Please feel free to contact us, its our pleasure to serve for you. BW product including: cutting tool、aerospace tool .HSS DIN Cutting tool、Carbide end mills、Carbide cutting tool、NAS Cutting tool、NAS986 NAS965 NAS897 NAS937orNAS907 Cutting Tools,Carbide end mill、disc milling cutter,Aerospace cutting tool、hss drill’Фрезеры’Carbide drill、High speed steel、Milling cutter、CVDD(Chemical Vapor Deposition Diamond )’PCBN (Polycrystalline Cubic Boron Nitride) ’Core drill、Tapered end mills、CVD Diamond Tools Inserts’PCD Edge-Beveling Cutter(Golden Finger’PCD V-Cutter’PCD Wood tools’PCD Cutting tools’PCD Circular Saw Blade’PVDD End Mills’diamond tool ‘Single Crystal Diamond ‘Metric end mills、Miniature end mills、Специальные режущие инструменты ‘Пустотелое сверло ‘Pilot reamer、Fraises’Fresas con mango’ PCD (Polycrystalline diamond) ‘Frese’Electronics cutter、Step drill、Metal cutting saw、Double margin drill、Gun barrel、Angle milling cutter、Carbide burrs、Carbide tipped cutter、Chamfering tool、IC card engraving cutter、Side cutter、NAS tool、DIN or JIS tool、Special tool、Metal slitting saws、Shell end mills、Side and face milling cutters、Side chip clearance saws、Long end mills、Stub roughing end mills、Dovetail milling cutters、Carbide slot drills、Carbide torus cutters、Angel carbide end mills、Carbide torus cutters、Carbide ball-nosed slot drills、Mould cutter、Tool manufacturer.

Bewise Inc. www.tool-tool.com

ようこそＢｅｗｉｓｅ　Ｉｎｃ.の世界へお越し下さいませ、先ず御目出度たいのは新たな

情報を受け取って頂き、もっと各産業に競争力プラス展開。

弊社は専門なエンド・ミルの製造メーカーで、客先に色んな分野のニーズ、

豊富なパリエーションを満足させ、特にハイテク品質要求にサポート致します。

弊社は各領域に供給できる内容は：

（１）精密ＨＳＳエンド・ミルのＲ＆Ｄ

（２）Carbide Cutting tools設計

（３）鎢鋼エンド・ミル設計

（４）航空エンド・ミル設計

（５）超高硬度エンド・ミル

（６）ダイヤモンド・エンド・ミル

（７）医療用品エンド・ミル設計

（８）自動車部品＆材料加工向けエンド・ミル設計

弊社の製品の供給調達機能は：

（１）生活産業～ハイテク工業までのエンド・ミル設計

（２）ミクロ・エンド・ミル～大型エンド・ミル供給

（３）小Ｌｏｔ生産～大量発注対応供給

（４）オートメーション整備調達

（５）スポット対応～流れ生産対応

弊社の全般供給体制及び技術自慢の総合専門製造メーカーに貴方のご体験を御待ちしております。

BW специализируется в научных исследованиях и разработках, и снабжаем самым высокотехнологичным карбидовым материалом для поставки режущих / фрезеровочных инструментов для почвы, воздушного пространства и электронной индустрии. В нашу основную продукцию входит твердый карбид / быстрорежущая сталь, а также двигатели, микроэлектрические дрели, IC картонорезальные машины, фрезы для гравирования, режущие пилы, фрезеры-расширители, фрезеры-расширители с резцом, дрели, резаки форм для шлицевого вала / звездочки роликовой цепи, и специальные нано инструменты. Пожалуйста, посетите сайт www.tool-tool.com для получения большей информации.

BW is specialized in R&D and sourcing the most advanced carbide material with high-tech coating to supply cutting / milling tool for mould & die, aero space and electronic industry. Our main products include solid carbide / HSS end mills, micro electronic drill, IC card cutter, engraving cutter, shell end mills, cutting saw, reamer, thread reamer, leading drill, involute gear cutter for spur wheel, rack and worm milling cutter, thread milling cutter, form cutters for spline shaft/roller chain sprocket, and special tool, with nano grade. Please visit our web www.tool-tool.com for more info.

Normála www.tool-tool.com

Bewise Inc. www.tool-tool.com Reference source from the internet.

Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu.

Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů - tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy.

Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

[editovat] Normála plochy

Je-li rovina dána rovnicí $a x + b y + c z + d = 0$ , potom je její normálový vektor n roven $(a, b, c)$ .

Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

$x = x(r,s),\,$

$y = y(r,s),\,$

$z = z(r,s),\,$

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

$\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s}\\ \mathbf{e}_1, & \mathbf{e}_2, & \mathbf{e}_3\end{matrix}\right|,$

což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

$\mathbf{n} = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x_1}{\partial p_1}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\\ \dots, & \dots, & \dots \\ \frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\\ \mathbf{e}_1, & \dots, & \mathbf{e}_n\end{matrix}\right|,$

kde $p_1,\dots,p_{n-1}$ jsou parametry plochy.

Je-li plocha dána jako množina bodů $(x, y, z)$ splňujících rovnici : $F (x, y, z) = 0$ , potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

$\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)$ .

[editovat] Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky $\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)$ , kde $s$ je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor $\mathbf{t}$ v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.

Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem $\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}$ .

Jednotkový vektor $\mathbf{n}$ , který má stejný směr jako vektor $\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}$ , se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí $\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0$ .

Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako

$\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}$ ,

kde $k 1$ je tzv. první křivost.

Vektory $\mathbf{t}$ a $\mathbf{n}$ jsou vzájemně kolmé, tzn. $\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0$ .

Pokud parametrem křivky není její oblouk $s$ , ale obecný parametr $t$ , tzn. křivka je dána rovnicí $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ , pak je jednotkový normálový vektor $\mathbf{n}$ dán vztahem

$\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}$ ,

kde $c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}$ pokud platí $\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0$ a $\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0$ .