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今回は機械設計に関連した話題です．機械や構造物を設計する場合，荷重を受ける構造部材が壊れないように頑丈な構造にするわけですが，頑丈かどうかの判断をするための尺度が必要になります．機械が頑丈かどうかの判断には「強度」や「剛性」といわれるものさしが用いられています．
ここでは，機械設計で重要な問題である「はりの曲げ」をとりあげて強度や剛性について考えていきたいと思います．
■５－１ 曲げに強い断面形状とは
図5.1 のように片持ばりの先端に力を加えるとはりは曲げられてたわみます．力の大きさとはりの材質は一定とすると，はりのたわみ量を支配しているものはなんでしょうか．直感的にははりの長さと太さといえると思います．たわみ量を小さくするためには，はりを太く短くすればよいわけです．
図5.1 片持ばりの曲げ
しかし本当にはりの長さと断面積が等しければ，たわみ量は同じになるでしょうか？．．． 次の事実は経験的に知られていると思います．「たわみ量は断面形状に依存する」ということです．ここで次の問題を考えてみてください．
【問題5.1】
図5.1に示す片持ばりの断面形状が図5.2の(a)～(c)の場合を考えます．この中で最もたわみ量が小さくなる形状はどれでしょうか．
図5.2 はりの断面形状
さてどの形状が曲げにくいでしょうか．答えは(a)ですね．断面二次モーメントという尺度で比較すればよいのです．また断面係数という尺度を用いると曲げ強さを評価することもできます．
■５－２ 曲げ応力
物体を曲げようとするときに作用するモーメントのことを曲げモーメントといいます．はりに外力が作用して曲げられている場合，はりの内部にはせん断力と曲げモーメントが作用します．その結果として応力が発生するわけですが，せん断力による応力は曲げモーメントによる応力に比べて無視できる程度ですので，一般に設計では曲げモーメントによる応力だけを問題にします．
図5.3 のようにはりが曲げられている場合，はりの内部がどのような状態になっているかを考えてみます．この場合，はりの上部は縮み下部は伸びるわけですが，この境目には伸びも縮みもしない層があり，これを中立面，また中立面と横断面との交線を中立軸と呼んでいます．さて中立面から距離yにある層はどれだけ伸びるでしょうか．ひずみεは，
………………………………………(5-1)
これより，中立面から距離yにある層で発生している応力（曲げ応力）は次式のようになります．
………………………………(5-2)
図5.3 曲げ応力
■５－３ 断面二次モーメントと断面係数
(1)断面一次モーメント
図5.4 のように中立軸から距離yにある微小要素を考えます．この層では応力σが発生していますから，微小要素に働く軸方向力は，次式で表されます．
…………………………………(5-3)
ここで，はりには外力として軸方向力は働いていません．断面に作用する引張応力と圧縮応力は全体でみると相殺されるので，上式を断面全体にわたって積分すればゼロになります．
………………………………(5-4)
この式が成り立つ条件は次式となります．
……………………………………(5-5)
これは中立軸まわりの断面積の一次モーメント（断面一次モーメント）の総和がゼロということを表しており，中立軸が断面の図心を通るということを意味しています．
図5.4 微小要素に働く軸方向応力
(2)断面二次モーメント
次に曲げモーメントに関する重要な式を導きましょう．曲げモーメント（符号については絶対値を考える）は力と距離の積ですから，図5.5 のような微小要素では，
となり，断面全体では次式のようになります．
…………(5-6)
ここで，中立軸に関する断面二次モーメントを，
…………………………………(5-7)
とおくと，式(5-6)は次のようになります．
………………………………………(5-8)
ここで，ＥＩを曲げ剛性といいます．
この式より，一定の曲げモーメントＭに対し，曲げ剛性ＥＩが大きいほど曲率１／ρが小さく（曲率半径ρが大きく）なることがわかります．すなわち，曲げ剛性ＥＩが大きいほど曲げにくいということです．
図5.5 曲げモーメント
(3)断面係数
式(5-2)と(5-8)より曲率半径ρを消去すると，
………………………………………(5-9)
これより，応力は中立軸からの距離ｙに比例するということがわかります．すなわち，一番外縁の曲げ応力の値が強さの尺度になるわけです．曲げ応力の最大値と最小値は，図5.6 のように中立軸から下縁までの距離と上縁までの距離をそれぞれ
とすると，
…………………(5-10)
ここで，
……………………………(5-11)
とおくと，
………………………(5-12)
ここで，
を断面係数といいます．断面係数が大きいほど最大曲げ応力は小さくなります．すなわち曲げに強いということです．なぜ断面係数で曲げ強さが評価できるのかが理解できたでしょうか．
設計では部材に生じる曲げ応力を許容応力以下に抑える必要があります．このためには最大曲げモーメント
の作用する断面で，許容応力
を用いて，
……………………………………(5-13)
を計算し，この
より大きな断面係数をもつ断面形状・寸法を選べばよいわけです．いろいろな形状に対する断面二次モーメントと断面係数の計算式は機械設計便覧などに載っています．
図5.6 最大曲げ応力
ここで断面係数の利用例として，次の問題に取り組んでみてください．
【問題5.2】
図5.7 に示すように中央に集中荷重を受ける両端支持はりの厚さは何mm以上必要でしょうか．ここで許容応力を90MPaとします．
［ヒント］
長さlの両端支持はりが，中央に荷重Wを受けている場合，最大曲げモーメントは中央の位置に発生し，その大きさは次式で表されます．
……………………………………(5-14)
いかがでしょうか，最大曲げモーメントが与えられれば，式（5.13）より35mm以上と答えが求まりますね．
図5.7 両端支持はり（集中荷重）
■５－４ 最大曲げモーメントはどこか
問題5.2 のようにはりの設計では最大曲げモーメントの大きさや，それがどこで生じるかが問題にされます．特に最大曲げモーメントが作用する断面で最大曲げ応力が発生しますので，ここが最も破壊しやすい断面ということができます．
最大曲げモーメントの大きさと位置は，はりを仮想的に分割し，力のつりあいとモーメントのつりあいを考えることで求めることができます．例えば図5.8 のように長さがlの両端支持はりに等分布荷重wが作用している場合について考えてみましょう．支点ＡとＢに作用する反力
は，左右対称なので力のつりあいから次のように求まります．
…………………………………(5-15)
次に仮想的に分割した要素ついて，力のつりあいは，
………………………………(5-16)
これよりせん断力は次式のようになります．
………………………………(5-17)
またＡ点まわりのモーメントのつりあい
……………………………(5-18)
より曲げモーメントは
………………………………(5-19)
と求められます．これより曲げモーメントはx＝l／2で最大値
をとることがわかります．
図5.8 両端支持はり（等分布荷重）
このように両端支持はりと片持ばりの場合の最大曲げモーメントは簡単に求めることができますが，両端固定はりの場合は問題が複雑になります．というのも固定はりでは，図5.9 のように支点で固定曲げモーメントが作用するため，未知数が４つに増えてしまうからです．こうなると力のつりあい式とモーメントのつりあい式だけでは未知量を決定することができません．このようなはりを不静定はりといい，はりのたわみ角やたわみなどの幾何学的な条件式を導くことで未知量が決定できます．この他にも不静定はりの解法としては，面積モーメント法やひずみエネルギー法などがありますが，ここでは三連モーメントの定理を適用する方法を紹介します．
図5.9 両端固定はり（集中荷重）
図5.10のように支点が３個以上あるはりを連続はりといいます．連続はりでは互いに隣り合う三つの支点に働く曲げモーメント
の間には次の関係式が成り立ちます．
………………………(5-20)
これを連続はりの三連モーメントの定理式といいます．ここで，
はスパン
の部分に加わる荷重と同一の荷重を受ける両端支持はりの右支点のたわみ角，
はスパン
の部分に加わる荷重と同一の荷重を受ける両端支持はりの左支点のたわみ角です．
図5.10 連続はり
各スパンがそれぞれの中央に集中荷重
，
を受けるときには，
……………(5-21)
となります．
では，図5.9に示した中央に集中荷重を受ける両端固定はりの反力と固定モーメントを求めてみましょう．この例では左右対称なので左右の反力と固定モーメントは等しく，
，
となります．
三連モーメントの定理を適用するために，ここで左端に長さ０の仮想スパンを考えて，その端の固定モーメントを０と置きます．すなわち，図5.10の連続はりにて
，
，
，
，
と考えるわけです．式(5-21)より
…………………………………(5-22)
また，力のつりあいより
……………………………………(5-23)
と求まります．
このように未知の反力と固定モーメントを求めることができれば，最大曲げモーメントの大きさと位置は静定はりの場合と同様にして導くことができます．
■５－５ 曲げ剛性を改善する方法
昨今では機械装置の高速化やコストダウンを行う目的で軽量化への要求が大きくなっています．ところが，軽量化のために単純に部材の径を細くすると剛性が大幅に低下してしまいます．こうした曲げ剛性の低下を抑えるには部材の断面形状を工夫することが有効です．
例えば，図5.11 に示すように矩形断面のはりをI形になるように肉抜きをします．曲げ剛性はEIで評価できますが，同一材料なので断面二次モーメントIだけで比較します．すると断面二次モーメントについては22%ほど低下してしまいますが，重量的には50%もの軽量化が達成できることがわかります．
図5.11 軽量化と曲げ剛性
さて次の問題は，曲げ剛性を改善する方法の一例です．
【問題5.3】
図5.12の形状ではどちらの剛性が高いでしょうか．
図5.12 中空形状と曲げ剛性
答えは中空形状ですね．同一の断面積の場合には中空形状にすることで曲げ剛性を改善することができます．例えば孟宗竹は曲げに対してとても強いのですが，これは「自然」による改善例といえるのではないでしょうか．
■５－６ 板ばねのばね定数の求め方
(1)たわみ量
これまで，はりの曲げ強さについて説明してきました．機械の設計では，はりが変形して他の部材と干渉しないかどうかの検討も行う必要があります．検討した結果，たわみ量が許容できない場合には曲げ剛性を高めるわけです．
はりの最大たわみδは次式で求めることができます．
…………………………………(5-24)
ここで，係数αははりの種類と荷重の状態によって決まります．例えば図5.13に示すような先端に集中荷重を受ける片持ばりではα=3であり，最大たわみδは，
…………………………………(5-25)
となります．この式は荷重Pに対するたわみ量δの関係を表したものなので，図5.13は片持ちの板ばねと考えることもできます．この場合，ばね定数kは板の幅b，板厚hとして，
……………………………………(5-26)
なので，
……………………(5-27)
となります．
図5.13 片持ばりのたわみ量
片持ばり以外の例では，中央に集中荷重を受ける両端支持はりではα=48であり，両端固定はりではα=192となります．
では次の問題に取り組んでみましょう．
【問題5.4】
図5.14に示す長さl=300mmの軸の中央にP=300Nの集中荷重がかかっています．許容できるたわみ量δを0.01mmとして，両端支持および両端固定の場合について軸径を求めてください．ここで，ヤング率をE=206GPaとします．
図5.14 はりのたわみ
答えは，両端支持では36mm，両端固定では26mmとなります．このように両端固定とすることで，変形しにくくなり，細い軸ですむので材料費も節約できることがわかります．もう一問，取り組んでみましょう．
【問題5.5】
問題5.4の両端支持はりの場合について考えます．たわみ量δを0.005mmに抑えるように仕様変更してください．要求を効率的に満足するには，どの仕様を変更すればよいでしょうか．
さて，この場合のたわみ量は，
………………………………(5-28)
となりますので軸径d，または長さlを変更すればよいです．軸径については４乗で，長さについては３乗で効いてきますので，dの場合は36mmを43mmに，lの場合は300mmを238mmに変更すればよいわけです．
(2)危険速度
はりの変形は，機械の位置精度の低下や部材間の干渉などの要因となりますが，振動にも関係してきます．例として，回転体を有する機械を考えてみましょう．
図5.15に示すように，角速度ωで回転している回転体に偏心εがある場合，遠心力Poが生じます．
…………………………………(5-29)
この遠心力により軸がδだけたわむので，動的つりあい状態における遠心力Pは，
……………………………(5-30)
これが軸の復原力kδとつりあいますので，
…………………………(5-31)
ここで，ばね定数kは，はりの最大たわみの関係から，
……………………………………(5-32)
式(5-31)と式(5-32)より，たわみδは次式となります．
……………………………(5-33)
この式の右辺の分母が零，すなわち，
……………………………(5-34)
のときにたわみδは無限大となります．このときの回転速度を
と表し，軸のふれまわりに対する危険速度（固有振動数）といいます．危険速度で機械を運転した場合には，振動の振幅が大きく成長（共振）して機械を破壊させる原因となりますので注意が必要です．
図5.15 偏心している回転体
ここで式(5-34)でαの値をどうするかということが問題ですが，軸を両端支持はりと考えるとα=48となりますし，両端固定はりと考えた場合にはα=192となります．このように両端固定はりにすると剛性を４倍も高くすることができるわけです．
しかし，実際にはどちらと考えて設計すればよいでしょうか．例えば軸の支持に深溝玉軸受を用いている場合には，転がり軸受ではすきまがありますので，図5.16のように，軸受が１つでは両端支持はり，軸受けを２つ並べた場合には両端固定はりとしてモデル化すればよいわけです．
図5.16 回転軸のモデル化
■５－７ ばねがばねで無くなるとき
はりのたわみの式(5-24)を用いれば，設計時に変形量について検討できるわけですが，注意すべき点があります．それは式(5-24)は弾性限度内でのみ成り立つということです．ここで弾性限度を超えるとどうなるのでしょうか．金属材料では弾性限度を超えると塑性変形を生じて急激に変形が大きくなります．しかし荷重については弾性限度を超えても極限荷重までは耐えることができます．このように弾性限度を超えた曲げのことを塑性曲げといい，断面全体が降伏するときの曲げモーメントを全塑性曲げモーメントといいます．
例えば図5.17に示すような，中央に集中荷重を受ける両端支持はりの場合，中央での曲げモーメントが全塑性曲げモーメントに等しくなると，中央断面は全てが塑性部分となり（塑性関節ができたといいます），はりは全体が不安定となって崩壊します．このときの荷重を崩壊荷重といいます．このように弾性限度を超えたはりは，もはや板ばねとよぶことはできません．
もちろん通常の機械設計では最大使用応力として比例限度以下の設計値を用います．このような設計法に対し，構造物の設計法では材料を有効に利用し軽量化を図るための手法として，全塑性曲げモーメントを基準に考える塑性設計法というものがあります．
塑性設計法は建築構造物の設計分野で主に発展してきた考え方で，大地震など発生確率が低い強大な外力に対して弾性範囲内で設計するのは不経済であることから，部材や接合部の一部塑性化を許すというものです.
両端支持はりのような静定はりでは、上述のように塑性関節を生ずるとすぐに崩壊しますが，両端固定はりのような不静定はりでは，一箇所に塑性関節が生じたとしてもすぐには崩壊せず，十分な数の塑性関節が形成されて全体が不安定となるまでは崩壊に至りません.
このように塑性設計法では，限界状態として崩壊荷重を選ぶことができ，合理的な手法と考えられています.
図5.17 塑性曲げ
■５－８ 強度不足ではないはずですが
はりの曲げ強さを考慮して設計したつもりでも，機械が破壊してしまう場合があります．「こんなはずでは…」とならないために注意すべき点を挙げておきます．
(1)座屈
これまでの話の中では，軸方向の力は考えていませんでした．ここでは軸方向の圧縮力を受ける棒をとりあげます．これは「はり」ではなく「柱」と呼ばれています．
まず柱の強さを考えてみましょう．柱に圧縮力をかけていきますと柱は降伏し，最後は破壊にいたるわけです．部材として柱を使用する場合には，この降伏点より小さな許容応力を用いて設計します．
例として，一辺が105mmの正方形断面の柱，いわゆる三寸五分柱を考えます．許容圧縮応力を6MPa（61kgf/cm2）とすると，最大使用荷重は66kNとなり，6.7t程度までの荷重を支えることができるはずです．
しかし，この考え方は必ずしも正しくはありません．なぜなら圧縮力が許容応力以下でも，図5-18に示すように柱が突然側方に曲がって逃げる現象が発生する場合があるからです．この現象を座屈といいます．このときの座屈荷重は，次式に示すオイラーの公式で求めることができます．
…………………………………(5-35)
ここで，nは柱の両端の支持方法により定まる係数で，
(a)一端固定，他端自由端 n＝０．２５
(b)両端とも回転端 n＝１
(c)一端固定，他端回転端 n＝２．０４６
(d)両端とも固定端 n＝４
となります．通常は荷重を支持する構造として自由端を有する(a)の場合は考えられません．このため(b)～(d)の値をとると考えられます．設計時には安全を考えてn＝１とするとよいでしょう．
式(5-35)から，座屈荷重は柱の曲げ剛性EIと長さlにのみ依存することがわかります．そして，断面積をA，断面二次半径をkとすると
なので座屈応力は，
…………………………………(5-36)
となります．ここでl／kを細長比といい，柱の細長さの尺度です．またここで注意すべき点は，オイラーの公式は棒の比例限度内での曲げの式をもとにしています．ですから細長比が小さくなり座屈応力が比例限度を超えた場合には適用できません．この場合には，ランキン，テトマイヤー，ジョンソンなどの実験公式で計算することになります．
ここで，先ほどの三寸五分柱の例を式(5-35)で計算してみましょう．柱の長さl＝4m，ヤング率E＝6GPa（61tonf/cm2）としますと，座屈荷重は37kNとなり，66kNで使用した場合には柱は座屈してしまうことがわかります．
図5.18 座屈
(2)疲れ限度
ここまで延々と話を進めてきてさすがに私も少々疲れてきました．ここでは材料も疲れるんだという話をします．
金属材料は繰り返し応力を受けることにより疲労して破壊することがあります．この場合，比例限度内の応力で破壊にいたりますので注意が必要です．
図5.19に示すように，疲れ破壊が生じる応力と繰り返し数の関係を図示したものをＳ－Ｎ曲線といいます．図より，応力振幅が大きければ少ない繰り返し回数でも壊れ，応力振幅が小さくなると壊れるまでの繰り返し回数は大きくなります．ところが，例えば鋼材では繰り返し数が100万～1000万回になると，曲線の傾きが変わりほぼ水平になります．これは，これ以下の応力では何回繰り返し応力を受けても疲れないということで，疲れ限度とよばれています．
図5.19 Ｓ－Ｎ曲線
疲れ限度は平均応力（図5.20）の影響を受けるので，図5.21に示すように縦軸に応力振幅をとり，横軸に平均応力をとって疲れ限度を示します．これを疲れ限度線図といい設計で利用されます．
図5.20 応力振幅と平均応力
図5.21 疲れ限度線図（Goodman線図）
(3)強度向上のために
さて，金属材料の疲労はどのようにして起こるのでしょうか．定説では，まずどこかに小さなき裂が発生し，それが進展して破壊にいたるといわれています．では，き裂が発生しやすい場所はどこでしょうか．この問題を解く鍵は材料の形状にあります．微小き裂の発生する場所では，図5.22に示すように穴や切欠きなど形状の急変があり，ここに大きな応力が生じています．これを応力集中といいます．
図5.22 応力集中
機械や構造物の破壊は，その大部分が繰り返し応力を受ける部材の応力集中部を起点に，き裂が進展して起こります．このため，設計で応力集中が生じにくい形状とすることがきわめて重要です．
応力集中が発生する部品の形状を変更することで，疲れ強度を向上させることができます．いくつかの対策例をあげます．
(a)コーナーR
応力集中は凹んだ角に生じやすいのです．図5.23に示すように凹んだ角にはコーナーRを付けましょう．
図5.23 コーナーＲ
(b)応力どめ
図5.24に示すように，もともと材料にき裂がある場合，このまま放置しておいてはすぐに破壊してしまいます．蟻の穴から堤もくずれます．き裂の先端部に応力どめとよばれる円孔を空けて，き裂の進展を防ぎましょう．
図5.24 応力どめ
(c)近接した切欠き
図5.25に示すように，切欠きなど応力集中が発生する要素が近接して存在するときには応力集中が緩和される場合があります．毒をもって毒を制すですね．
図5.25 近接した複数の切欠き
おしまいに応力集中が生じているかどうかをイメージ的に把握する方法を紹介しましょう．まずは流体力学を勉強することです．材料の応力線を流体の流線と考えてください．流線が密になっている部分に応力が集中しています．もちろん応力線と流線は相似ではありませんが，傾向的には一致します．ここだけの話ですが，機械の強度設計の極意は，流体の流線をイメージしながらコーナーRをつけることかもしれません．
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