力学の基礎www.tool-tool.com

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下記は、伝動軸に作用する荷重を算出する為の諸事項である。
　(1)力と単位系　　・換算表

　運動方程式　
力F
　質量 m
加速度 d²x/dt²

　F = m d²xdt ₂
　SI 単位系
　[N]
　[kg]
　[m/s²]

　重力単位系
　[kgf]
　[kgf･m^-1s²]
　[m/s²]

　N
　kgf

　1
0.10197

9.80665
　1

ここに、 1 [N]_{ニュートン} = 1 [kg･m/s²]　　　F[N] = F[kgf] × 9.80665 [m/s²]　　　 標準重力加速度 g =9.80665[m/s²]
　　　・力の計算：
　　　　質量m の物体に力を作用させた時、その力に対し他の拘束力や摩擦力等の外力 R が存在する場合、物体に
　　　　加速度 α ＝　 F-Rmの動きを発生させる。 　　力の大きさの定義としては、　「自由運動が可能な質量m の
　　　　物体に力を作用させたと想定した時、 加速度α ＝ Fmの動きを発生させる力である」と、表現できる。
　(2)静止または一定速度でのトルク
　　　荷重Wを 巻上げ機で上昇での 軸の負荷 (おもりWの吊上げ力F = W )

　算出式　
トルクT
　荷重 W
回転半径r

　T = r･W
　SI 単位系
　N･m
　[N]
　[m]

　重力単位系
　[kgf･m]
　[kgf]
　[m]

　　　外部荷重によるトルクは、回転軸に発生する「ねじりモーメント」と同値。
　(3)円運動でのトルク
　　(a)剛体の一点について、角速度 ω= dθ/dt　　速度 v = rω　　運動量 mv= mrω
　　　 角運動量(mvのモーメント) = mr²ω 　角運動量の保存の法則にて、外部モーメントT = d(角運動量)/dt
　　(b)剛体の全体について、慣性モーメント J = ∑mr² と定義すると、　外部モーメントT = J d²θdt ₂ = J dωdt
　　(c)典型的な図形の慣性モーメント J
　　　(ｲ)中空円筒体(r₁=0で円筒体)
　　　　　J = ∫_A(ρc･dA)r² = ρc∫_Ar²dA = ∫_r1^r2 2πρcr²rdr = πρc(r₂⁴ - r₁⁴)/2 = m･(D₂²+D₁²)/8
　　　(ﾛ)立方体(棒状を含む)
　　　　　J = ρc∫_Ar²dA = ρc∫_A(x²+y²)dA = ρcb∫_-a/2^a/2 x²dx + ρca∫_-b/2^b/2
　　　　　　 = m･(a² + b²)/12 y²dy = ρcba³/12 + ρcab³/12
　　　(ﾊ)球体
　　　　　J = 2R²m/10 = D²m/10

　　　　　この式の求め方は、参考に下記に示す。
　　　　　半径Rとし、x²+y²+z²≦R² なる球に於いて、上述(b)の形状奥行きc に相当する値は、図形 x²+y²≦R²-z² の面積であり、
　　　　　即ち A = π(R²-z²) である。 これより、体積は 　V = ∫_zA dz = ∫_-R^R π(R²-z²)dz = 4πR³/3　となる。
　　　　　同じくこの面積を用いて、ｙ軸の慣性モーメントは　I_y = ρ∫_xA x²dx = ∫_-R^R πρ･(R²-x²)･x² dx = 4πR⁵/15、
　　　　　ここで、r² = x²+y² 　　　従って、J = I_y + I_x = 8πρR⁵/15 = 2R²m/10 = D²m/10

　　　(ﾆ)丸棒
　　　　　S₁ = πR²　　J₁ = ρS₁∫_-L/2^L/2 x²dx = 2ρS₁(L/2)³/3 = L²m/12
　　　　　S₂ = 2RL　　J₂ = ρS₂∫_o^R 2πr･r² dr = ρπS₂R⁴/4 = R²m/4 = D²m/14
　　　　　従って、　　　 J = J₁+J₂ = (4L²+3D²)･m/48
　　　(ﾎ)円直錐
　　　　　V = πh(R²+Rr+r²)/3 　　　　　J = ρ･ πh10 ･ R⁵-r⁵R-r = m･ πh10･ R⁵-r⁵(R-r)･V
　　(d)座標移動
　　　　　　図心軸に関する慣性モーメントをJoとし、　これと平行な軸で慣性モーメント J = Jo + m･e²
　　　　　　但し、eは両軸間距離、mは質量である。
　　(e)モーメントと単位系

　トルクの式
　トルク T
　慣性モーメント J
角加速度 dω/dt

　T = J d²θdt = Jdωdt
　SI 単位系
　[N･m]
　[kg･m]
πN30t [m/s²]

　重力単位系
　[kgf･m]
GD²4･9.81･10 ₄ [kgf･m^-1s²]

　　　　　ここに、 GDスクエア： GD² [kgf･cm]　　回転数： N [rpm]　　平均立上り時間： t [sec]
※ 記述に関し、 N は 単位のニュートン の場合と 毎分回転数の変数値 の場合がある。
※ 慣性モーメント J は、　SI単位系の場合、イナーシャ とも呼ばれている。
※ イナーシャ の単位は、　1 [kg･m] = 1[N･m/s²]
　(4)馬力の算出と単位

　馬力の式
仏馬力 H
トルク T
回転数 N

　H = T2πN60 17500 = 0.1047TN17500
　[PS]
[kgf･cm]
　[rpm]

　　　・単位換算 　　　

　N･m/s (ワットW)
　kgf･m/s
　kgf･cm/s
仏馬力PS

　735.49875
　75
　7500
　1

　9.80665
　1
　100
175

　0.0980665
　0.01
　1
17500

rev.(3)の(c)の(ｲ) Date 2007-7-3

■ねじり剛性とせん断応力
　　(a)基礎事項
　　　・せん断ひずみγは、部材の微小断面を考え、単位長さ当たりの滑り量とし、γ≒tanγ　である。
　　　・せん断応力τは、せん断ひずみγにて生じる内部応力で、横弾性係数(剛性率、又はせん断性係数)G
　　　　に比例し、τ = G･γ　である。
　　　・丸棒をねじりモーメントMで捩る時、せん断ひずみ γ= rθ = rφ/ L
　　　　および　せん断応力τ = G･rθ
　　(b)ねじりモーメント dT = r･ τdA 　一方 τ = G･rθ より
　　　　T = ∫_Aτr dA = Gθ∫_Ar² dA = GI_pθ
　　　　ここに、
　　　　　・断面2次極モーメント　I_p=∫_Ar² dA
　　　　　・GI_p は ねじりこわさ と称す。
　　　　　・せん断応力τ は、τ = G･rθ である故、τ = T･rI_p
　　　　　・ねじり断面係数 Z_p = I_p/r　にて、τ = T/Z_p
なお、一例として、円断面では、 dT = 2πr･dr･τ･r 故、 　T = Gθ∫ ₀^r2 2πr³dr = GθI _p　ここに、 I_p = πr⁴/2
　　(c)典型的な断面の断面2次極モーメント
　　　　(ｲ)中空円筒断面 (d₁=0で円断面)
　　　　I_p = ∫ _r1^r2 2πr³rdr = π(r₂⁴ - r₁⁴)/2 = π(D₂⁴ - D₁⁴)/32
　　　　(ﾛ)楕円断面 (a=bで円断面)
　　　　　　I_p = πa³b³ a　+b　 22

強度計算･実践への一歩
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