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１．き裂を有する材料のき裂開口の変形様式
き裂を有する弾性体に外力が作用する場合、長さ2c、高さ2b、き裂先端の曲率半径ρのき裂が板に存在する。変形形式は図1～3のように、き裂に対する荷重の作用の仕方から、3つのモードに分類されている。
(a)
(b)
図1 モードⅠ 引張形式
(a)
(b)
図2 モードⅡ せん断形式
(a)
(b)
図3 モードⅢ 面外せん断形式
■モードⅠ 引張形式
引張応力がき裂面に対して垂直に作用する場合である(図1)。図でZ方向の応力は変化しない平面応力かZ方向のひずみが変化しない平面ひずみ状態を取る。
■モードⅡ せん断形式
外応力はせん断応力でき裂面に対して平行に作用する(図2)。平面応力か平面ひずみ状態をとる。
■モードⅢ 面外せん断形式
外応力はせん断応力であるが板厚方向に作用する(図3)。
２．切欠やき裂先端近傍の応力状態
■円孔と楕円孔の場合
弾性体の無限平板に半径cの円孔が存在し、図4のように無限遠で一様な引張応力σが作用している場合で、円の中心を座標点の原点に取り、中心からの距離rとrがy軸とのなす角θとすると次式のように応力が求められている。
図4 平板に円孔
図5 座標軸の取り方
(1)
式(1)でr=c, θ=π/2とr=-c、3π/2で、σθ=3σとなり最大値を取り、3倍の応力集中となる。
長軸2c、短軸2bの楕円孔の場合は式(2)のように求められている。
(2)
ただし、曲率半径ρ=b2/c の関係がある。
図6 楕円孔の場合
応力集中係数αとおくと
(3)
(4)
曲率半径ρ→0の時、楕円孔が扁平になり、α→∞になることがわかる。つまり、脆性材料の場合はき裂のようになると応力集中係数αは∞大になり、大きくなり危険であるが、延性材料の金属の場合は降伏して降伏応力程度となる。
■き裂による応力分布と応力拡大係数
各モードにおけるき裂先端の応力分布は次のように求められている。モードⅠの引張形式の場合は次式のようにもとめられている1),2)。
(5)
(6)
u,vはそれぞれ、変位のx,y成分
図7 座標軸
ここに、
: 平面ひずみ、 
: 平面応力
G:剛性率 ν:ポアソン比
τxy の添え字の意味は，最初のxは，「x軸と垂直な断面における」との意味で，考えている断面を表し、次のyは,「y方向の」との意味で、方向を表している。 KI は
(7)
で、応力拡大係数(stress intensity facter)と定義している。曲率半径が有限な円孔や楕円孔の場合は応力の集中度合いを応力集中係数αで表現したが，これに対応している。KI はモードⅠに対する応力拡大係数であることを示している。モードⅡ、Ⅲに対する応力拡大係数は次式で与えられる。
(8)
(9)
一般的には、
(10)
で表され、αは試験片の形状、大きさやき裂形状、負荷応力の形式によって決まる無次元量である。
モードⅡのせん断形式の場合は次式のようにもとめられている。
(11)
(12)
モードⅢの面外せん断形式の場合は次式のようにもとめられている。
(13)
３．切欠やき裂先端近傍の塑性変形5)
モードⅠ 引張形式の場合、き裂先端の塑性変形を考える。変形状態の相違は、塑性変形長さsと板厚tの比で決まると言われている。 s <> t の時は平面応力状態である。
図7 平面応力
図8 平面ひずみ
図9 き裂先端の塑性域
4.破壊力学
モードⅠの引張形式の場合は次式のようにもとめられた。
(14)
グリフィスの破壊応力(「材料の強度と破壊」の「脆性破壊」のページを参照)を求めるとき、弾性体において、き裂がｃからｃ＋ｄｃまで増すときのエネルギー条件は、外力の変化がないとき、弾性ひずみエネルギーの減少dUが表面エネルギーの増加dWをまかなうときにき裂が成長を始める、つまり不安定成長の条件である。
(15)
表面エネルギーWと弾性ひずみエネルギーUは次式で与えられるので上式に代入して
(16)
(17)
となる。整理して次式を得る。
(18)
グリフィスの破壊応力は
(19)
となり、σc に対応する応力拡大係数Kcとおく。
(20)
不安定成長の条件での応力拡大係数を限界値考え、Kcを破壊靱性(fracture toughness)という。応力拡大係数がKc以上になったときき裂は成長する。Irwin4)らはき裂進展力(crack extension force)G=K2/E (平面応力)とおき、Gが限界値Gcに等しくなったときき裂の伝播が起こるとした。
(21)
Gcは、靱性(toughness)あるいはき裂抵抗力(crack-resistance force)と言われる。この式は，表面エネルギー2γs(新しい面ができるために費やされるエネルギー)の代わりに，2γs＋2γpを用いることで、き裂先端の小規模な塑性変形を伴う場合も成り立つとしている。 γp は塑性変形仕事(塑性変形のために消費されるエネルギー)である。
図10 き裂先端に小規模降伏が生じた場合の応力分布
モードⅠの平面応力状態の場合，き裂近傍の応力分布は式(5)であたえられるが，外応力σが大きくなり，き裂先端の応力が降伏応力σYに達し，塑性変形が生ずる。x軸上，y方向の応力分布は図10のようになる。塑性変形域の大きさをsとすると，小規模降伏，s< と求められている3),6)。 と求められている7)。 式を導く過程などの詳細は文献9)をご覧下さい。 参考文献 歡迎來到Bewise Inc.的世界，首先恭喜您來到這接受新的資訊讓產業更有競爭力，我們是提供專業刀具製造商，應對客戶高品質的刀具需求，我們可以協助客戶滿足您對產業的不同要求，我們有能力達到非常卓越的客戶需求品質，這是現有相關技術無法比擬的，我們成功的滿足了各行各業的要求，包括：精密HSS DIN切削刀具、協助客戶設計刀具流程、DIN or JIS 鎢鋼切削刀具設計、NAS986 NAS965 NAS897 NAS937orNAS907 航太切削刀具,NAS航太刀具設計、超高硬度的切削刀具、醫療配件刀具設計、複合式再研磨機、PCD地板專用企口鑽石組合刀具、粉末造粒成型機、主機版專用頂級電桿、PCD V-Cut刀、捨棄式圓鋸片組、主機版專用頂級電桿’汽車業刀具設計、電子產業鑽石刀具、木工產業鑽石刀具、銑刀與切斷複合再研磨機、銑刀與鑽頭複合再研磨機、銑刀與螺絲攻複合再研磨機等等。我們的產品涵蓋了從民生刀具到工業級的刀具設計；從微細刀具到大型刀具；從小型生產到大型量產；全自動整合；我們的技術可提供您連續生產的效能，我們整體的服務及卓越的技術，恭迎您親自體驗！！ BW Bewise Inc. 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(22)
σY 降伏応力
き裂先端の開口変位φ(Crack Opening Displacement, COD)は，小規模降伏，s<
(23)
(24)
CODの値は、き裂が成長するための限界値として用いられている。つまり、き裂先端での変位がCOD値に達したときき裂が成長するという条件である。脆性破壊の項で述べたように材料は温度等の環境によって性質を変わるし、材料の組織や負荷速度等によって強さは変化するので、COD値の中にこれらのパラメータが入っていないので、CODを破壊条件とすることに疑問視する研究者もいる。
1) M.L.Williams, J.Appl. Mech. 24(1957)109.
2) G.R.Irwin, Handbuch der Physik, Springer 6.(1958)551.
3) G.I.Barrenblatt, Advance in Appl. Mech.7(1962)55.
4) G.R.Irwin, Encyclopedia of Physics, Vol.Ⅵ, Springer, Heidlberg(1958).
5) G.T.Hahn and A.R.Rosenfield, Acta Meta. 13(1965)293.
6) D. S. Dugdale, J. Mech. Phys. Solid 8(1960).
7) J. N. Goodier and F. A. Field, Fracture of Solids, Roy. Soc. (1963)103.
8) J. R. Rice, Int. J. Frac. Mech. 2(1966).
9) 横堀武夫、材料強度学、岩波全書.
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