Wednesday, March 18, 2009

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Diagrama y análisis espectral de un filtro comb (IIR+FIR) aplicado a ruido blanco

En el procesamiento de señales, un filtro comb (o peine) se produce al sumarle a la señal original una versión retrasada en el tiempo de sí misma, causando así interferencia constructiva y destructiva. La respuesta en frecuencia de un filtro comb consiste en una serie de picos regularmente espaciados, cuya figura se asemeja a la de un peine (comb, en inglés).

Los filtros comb se pueden identificar de acuerdo al tipo de señal sumada a la entrante. Si sólo depende de los valores previos en la entrada se denomina feedforward o filtro FIR (de Finite Impulse Response: respuesta a impulso finita), y si depende sólo de los valores previos de la salida se llama feedback o filtro IIR (respuesta a impulso infinita). Se pueden implementar en un dominio temporal discreto o contínuo; este artículo se basará en implementaciones en tiempo discreto; las propiedades de los filtros en el dominio temporal contínuo son muy similares.

Filtros FIR o Feedforward [editar]

Estructura de un filtro comb FIR o Feedforward

Respuesta en magnitud de un filtro comb Feedforward para distintos valores positivos de α

Respuesta en magnitud de un filtro Feedforward para distintos valores negativos de α

La estructura general de un filtro comb feedforward es mostrada a la derecha, y es descripta por la siguiente ecuación recurrente:

\ y[n] = x[n] + \alpha x[n-K]

donde K es el tamaño del retraso (medido en muestras), y α es un factor de escalamiento aplicado a la señal retrasada. Si tomamos la transformada Z en ambos lados de la ecuación, obtenemos:

\ Y(z) = (1 + \alpha z^{-K}) X(z)

Podemos entonces definir la función de transferencia de la siguiente manera:

\ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = 1 + \alpha z^{-K} = \frac{z^K + \alpha}{z^K}

Respuesta en frecuencia [editar]

Para obtener la respuesta en frecuencia de un sistema temporalmente discreto expresado en el dominio complejo Z, hacemos la sustitución z = ejω. Para nuestro filtro comb FIR tenemos:

\ H(e^{j \omega}) = 1 + \alpha e^{-j \omega K}

Uno de los parámetros de interés es su respuesta en magnitud, ignorando la fase. Ésta queda definida como:

\ | H(e^{j \omega}) | = \sqrt{\Re\{H(e^{j \omega})\}^2 + \Im\{H(e^{j \omega})\}^2}

En el caso de un filtro FIR es:

\ | H(e^{j \omega}) | = \sqrt{(1 + \alpha^2) + 2 \alpha \cos(\omega K)}

Nótese que el término (1 + α2) es constante, con lo que el término 2αcos(ωK) varía periódicamente. Por lo tanto la respuesta en magnitud de un filtro FIR es periódica.

Los gráficos a la derecha muestran la respuesta en magnitud para varios valores de α, demostrando esta periodicidad. Algunas propiedades importantes:

  • La respuesta periódicamente decae hasta un mínimo local (conocido a veces como notch), y luego crece hasta un máximo local (también conocido como peak).
  • Los niveles máximos y mínimos están siempre equidistantes de 1.
  • Cuando \alpha = \pm 1, el mínimo tiene amplitud 0. En este caso el mínimo es conocido como cero.
  • El máximo de los valores positivos de α coincide con el mínimo de los valores negativos de α, y viceversa.

Interpretación de polos y ceros [editar]

Mirando nuevamente a la función de transferencia en el dominio complejo Z de un filtro comb FIR:

\ H(z) = \frac{z^K + \alpha}{z^K}

vemos que el numerador es igual a cero cuando zK = − α. Tiene por tanto K soluciones, que graficadas se encuentran igualmente espaciadas alrededor de un círculo en el plano complejo; esos son los ceros de la función de transferencia. El denominador es cero cuando zK = 0, dando K polos en z = 0. El gráfico correspondiente se ve abajo.

Gráfico de polos y ceros de un filtro comb FIR con K = 8 y α = 0.5

Gráfico de polos y ceros de un filtro comb FIR con K = 8 y α = − 0.5

Filtros IIR o Feedback [editar]

Estructura de un filtro comb IIR o feedback

Respuesta en magnitud de un filtro comb feedback para distintos valores positivos de α

Respuesta en magnitud de un filtro comb feedback para distintos valores negativos de α

En forma similar, la estructura general de un filtro comb IIR es mostrada a la derecha, y es descripta por la siguiente ecuación recurrente:

\ y[n] = x[n] + \alpha y[n-K]

Si reacomodamos la ecuación para que todos los términos en y estén del lado izquierdo y tomamos la transformada Z, tenemos:

\ (1 - \alpha z^{-K}) Y(z) = X(z)

La función de transferencia es, por lo tanto:

\ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - \alpha z^{-K}} = \frac{z^K}{z^K - \alpha}

Respuesta en frecuencia [editar]

Si hacemos la sustitución z = ejω en el dominio complejo Z, obtenemos la siguiente expresión para los filtros comb IIR:

\ H(e^{j \omega}) = \frac{1}{1 - \alpha e^{-j \omega K}}

La respuesta en magnitud se calcula entonces:

\ | H(e^{j \omega}) | = \frac{1}{\sqrt{(1 + \alpha^2) - 2 \alpha \cos(\omega K)}}

Nuevamente, la respuesta es periódica, como demuestra el gráfico a la derecha. El filtro comb IIR tiene algunas propiedades en común con los FIR:

  • La respuesta periódicamente decae hasta un mínimo local y crece hasta un máximo local.
  • El máximo de los valores positivos de α coincide con el mínimo de los valores negativos de α, y viceversa.

De cualquier manera existen diferencias importantes, debido a que la respuesta en magnitud depende de un término ubicado en el denominador:

  • Los niveles de los máximos y mínimos no son equidistantes de 1.
  • El filtro es estable sólo si | α | es menor que 1. Como podemos ver en los gráficos, cuando | α | crece, las amplitudes de los picos máximos suben rápidamente.

Interpretación de polos y ceros [editar]

Mirando nuevamente la función de transferencia en el dominio Z de un filtro comb IIR:

\ H(z) = \frac{z^K}{z^K - \alpha}

Esta vez, el numerador es cero siempre que zK = 0, dando K ceros cuando z = 0. El denominador es igual a cero cuando zK = α. Esto tiene K soluciones posibles, igualmente espaciadas alrededor de un círculo ubicado en el plano complejo; esos son los polos de la función de transferencia. Esto produce un gráfico como el que se muestra a continuación.

Gráfico de polos y ceros de un filtro comb IIR con K = 8 y α = 0.5

Gráfico de polos y ceros de un filtro comb IIR con K = 8 y α = − 0.5

Filtros comb en el tiempo continuo [editar]

Los filtros comb pueden ser implementados también en el tiempo continuo. Los FIR son descriptos por la siguiente ecuación:

\ y(t) = x(t) + \alpha x(t - \tau)

y los IIR:

\ y(t) = x(t) + \alpha y(t - \tau)

donde τ es el retraso de la señal (medido en segundos).

Utilizando la Transformada de Laplace se puede calcular la respuesta en frecuencia a partir de la función de transferencia, en forma similar al caso discreto con la Transformada Z. Las respuestas de los filtros expresados arriba para tiempo continuo entonces quedan, respectivamente:

\ H(\omega) = 1 + \alpha e^{-j \omega \tau}
\ H(\omega) = \frac{1}{1 - \alpha e^{-j \omega \tau}}

Las implementaciones en el tiempo contínuo comparten todas las propiedades de las respectivas implementaciones en el tiempo discreto.

Aplicaciones [editar]

Los filtros comb son utilizados en una variedad de aplicaciones de procesamiento de señales. Algunas de ellas son:

Ejemplos de audio [editar]

Ruido blanco sin filtrar (detalles)

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Ruido blanco filtrado con un filtro comb FIR con un retraso de 3 milisegundos, y un coeficiente α = 1 (detalles)

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Ruido blanco filtrado con un filtro comb FIR con un retraso de 3 milisegundos, y un coeficiente α = 0,75 (detalles) Archivo:Filtro comb FIR con alfa=0 75.ogg Si tienes problemas, entra en Ayuda:Multimedia.

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Ruido blanco filtrado con un filtro comb FIR con un retraso de 3 milisegundos, y un coeficiente α = 0,5 (detalles)

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Ruido blanco filtrado con un filtro comb IIR con un retraso de 3 milisegundos, y un coeficiente α = 0,9 (detalles)

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Ruido blanco filtrado con un filtro comb IIR con un retraso de 3 milisegundos, y un coeficiente α = 0,75 (detalles) Archivo:Filtro comb IIR con alfa=0 75.ogg Si tienes problemas, entra en Ayuda:Multimedia.

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Ruido blanco filtrado con un filtro comb IIR con un retraso de 3 milisegundos, y un coeficiente α = 0,5 (detalles)

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